一元5次方程的求根公式

可化为(X＋b/(5a))^ 5=R的一元五次方程之求根公式 关于研究五次方程求根公式的问题，如果我们不受Abel定理的约束，那么在探索中我们会有新的发现。　从盛金公式解题法中可以受到启发，若一元三次方程aX^3＋bX^2＋cX＋d=0可以用根式表达的公式求解，则一定可以化为(X＋b/(3a))^3=R的方程，事实上，展开(X＋b/(3a))^3=R后的此方程，无论a 、b、R为任意实数，都可以用盛金公式②直观求解。　因此，笔者猜想：“如果一元五次方程aX^5＋bX^4＋cX^3＋dX^2＋eX＋f=0可以用根式表达的公式求解，那么就一定可以化为(X＋b/(5a))^5=R的方程，展开(X＋b/(5a))^5=R的此方程，无论a 、b、R为任意实数，存在根式表达的公式求解。”　经过努力探索，笔者解决了这个猜想，推导出“可化为(X＋b/(5a))^5=R的一元五次方程之求根公式”如下： 一元五次方程：aX^5＋bX^4＋cX^3＋dX^2＋eX＋f=0 （a，b，c，d，e，f∈R，且a≠0） 重根判别式： A=2b^2—5ac； B=bc—5ad； C=de—5cf； D=2e^2—5df。 当A=B=C=0时，公式⑴： X(1)=X(2)=X(3)=X(4)=X(5) =－b/(5a)=－c/(2b)=－d/c=－2e/d=－5f/e。 当A=B=0，C≠0时，公式⑵： X(1)=(－b＋Y^(1/5))/(5a)； X(2，3)=(－b＋Y^(1/5)(－1－5^(1/2))/4)/(5a) ±Y^(1/5)(5－5^(1/2))^(1/2)2^(1/2)i)/4)/(5a)； X(4，5)=(－b＋Y^(1/5)(－1＋5^(1/2))/4)/(5a) ±Y^(1/5)(5＋5^(1/2))^(1/2)2^(1/2)i)/4)/(5a)。 其中Y=(5a)^3(be—25af)，i^2=－1。 判别法： 当A=B=C=0时，方程有一个五重实根； 当A=B=0时，C≠0时，方程有一个实根和两对共轭虚根。　（注：这个判别法是针对上述公式而言，并非判别根的一般情况） 特点： 1、当A=B=C=0时的方程，都可以化为(X＋b/(5a))^5=0的方程，展开(X＋b/(5a))^5=0，无论a、b、为任意实数，都可以用公式⑴快速求解。　2、当A=B=0，C≠0时的方程，都可以化为(X＋b/(5a))^5=R的方程，展开(X＋b/(5a))^5=R，无论a、b、R为任意实数，都可以用公式⑵直观求解。 解题举例： 例1、解方程1024X^5＋3840X^4＋5760X^3＋4320X^2＋1620X＋243=0　解：a=1024，b=3840，c=5760，d=4320，e=1620，f=243。 ∵A=B=C=0，∴此方程有一个五重实根。 应用公式⑴解得：X(1)=X(2)=X(3)=X(4)=X(5)=－3/4。　这是精确结果，把X(1)=X(2)=X(3)=X(4)=X(5)=－3/4代入原方程为零。 经检验，解得的结果正确。 例2、解方程X^5＋15X^4＋90X^3＋270X^2＋405X—1419614=0　（值得注意：根据Abel定理，这个五次方程无根式表达的公式求解。） 解：a=1，b=15，c=90，d=270，e=405，f=－1419614。　∵A=0；B=0；C≠0，∴此方程有一个实根和两对共轭虚根。 应用公式⑵求解。 Y=(5a)^3(be—25af)=4437053125； Y^(1/5)=85。 把有关值代入公式⑵，得： X(1)=14；　X(2，3)=(－29－17×5^(1/2))/4±17(5－5^(1/2))^(1/2)2^(1/2)i/4；　X(4，5)=(－29＋17×5^(1/2))/4±17(5＋5^(1/2))^(1/2)2^(1/2)i/4。　这是精确结果。为了方便用韦达定理检验，取近似结果为宜，就是： X(1)=14； X(2，3)=－16.7532889±9.992349289i； X(4，5)=2.253288904±16.16796078i。 经检验，解得的结果正确（检验过程略）。 例3、解方程X^5＋30×23^(1/2)X^4＋8280X^3＋49680×23^(1/2)X^2＋3427920X＋2008×889^(1/2)=0　（值得注意：这是一个比较复杂的五次方程，根据Abel定理，这个方程无根式表达的公式求解。）　解：a=1，b=30×23^(1/2)，c=8280，d=49680×23^(1/2)，e=3427920，f=2008×889^(1/2)。 ∵A=B=0，C≠0，∴此方程有一个实根和两对共轭虚根。 应用公式⑵求解。 Y=(5a)^3(be—25af)= 6.146187944×10^10； Y^(1/5)=143.7875114。 把有关值代入公式⑵，得： X(1)=－0.01748685988； X(2，3)=－52.0402972±16.90323573i； X(4，5)=－19.88843222±27.35000994i。 经用韦达定理检验，解得的结果正确（检验过程略）。　更进一步地，笔者猜想：当n＞5时，如果一般n次方程可以用根式表达的公式求解，那么就一定可以化为(X＋b/(na))^n=R的方程，展开(X＋b/(na))^n=R后的此方程，无论a 、b、R为任意实数，存在公式求解。 说明： 1、此文中的重根判式A、B、C、D与“科学网＞个人学术展示＞一般五次方程求根公式之探讨（一）范盛金”一文中的重根判式A、B、C、D有区别，这是因为此文经过压缩，精选出重根判式。解题过程中要注意区分。　2、凡是展开(X＋b/(5a))^5=R得出的一元五次方程，无论a 、b、R为任意实数，都可以用公式⑵直观求解。根据这一特点，有理由猜想：一元五次方程存在根式表达的一般式求根公式。这个猜想与Abel定理相违背。　3、一元五次方程方程的最简重根判别式以及公式⑴、⑵与盛金公式的表达形式类似。很明显，公式⑴、⑵是一般五次方程求公式的其中情形的公式。　4、能否完整地推导出根式表达的一般五次方程求根公式？这是世界数学史上最著名的难题之一，是一个相当复杂的问题，但值得探索。